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Interviste

Carlo Cellucci

I fondamenti della matematica

3/6/1993
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Carlo Cellucci introduce il tema dei rapporti tra logica e matematica con una breve premessa storica, nella quale discute il problema del metodo matematico nell'antica Grecia. In particolare, analizza le differenze tra il metodo di Platone e quello di Aristotele: il primo si configura come un processo all'indietro, che va dal teorema da dimostrare alle ipotesi, mentre il secondo è un processo in avanti, che parte da alcune ipotesi che vengono dichiarate come assolutamente vere, gli assiomi, fino al problema da risolvere. Cerca poi di percorrere la genesi e lo sviluppo del metodo assiomatico, a partire da Eudosso ed Aristotele, esaminando anche le critiche di Platone.
Cellucci passa poi alla matematica dell'Ottocento, quando per la prima volta ci si è posti il problema se la matematica fosse un tutto unitario, anche in seguito alla creazione del calcolo infinitesimale. In effetti, Leibniz non era riuscito a enunciare i princìpi del calcolo infinitesimale in modo che evitassero ogni possibile contraddizione. Il tentativo di ridurre i princìpi dell'analisi matematica a qualcosa di più elementare condusse all'elaborazione della teoria degli insiemi, alla cui base si trovava l'idea di ridurre il concetto di continuo al concetto di insieme, operazione compiuta da Weierstrass, Cantor e Dedekind. Anche tale teoria non era esente da difficoltà, soprattutto a causa del fatto che essa si basa sull'ipotesi che esista l'infinito attuale. Si scoprì poi che alcuni princìpi della teoria degli insiemi davano luogo a contraddizioni, la più celebre delle quali è costituita dal cosiddetto paradosso di Russell. La scoperta dei paradossi mise in crisi, in particolare, il tentativo di fondare la matematica sulla logica a opera di Frege. Un ulteriore tentativo di salvare la matematica dallo stato di incertezza in cui sembrava essere precipitata fu compiuto da Hilbert, che assegnò alla logica una funzione «metateorica». Ma anche il programma di Hilbert venne messo in crisi nel 1931, quando Kurt Gödel scoprì che il programma hilbertiano non poteva essere realizzato, nel senso che non era possibile dare una dimostrazione della coerenza della teoria degli insiemi. Cellucci si sofferma poi sul problema della «scoperta» in matematica, partendo da alcune osservazioni di Cartesio e spiegando come negli anni '30 i logici Church e Turing avessero dimostrando che l'approccio di Hilbert non funzionava neppure per quanto riguardava questo problema. Cellucci analizza poi le differenze tra metodo analitico e metodo sintetico, mostrando come i creatori della scienza moderna, Cartesio, Galilei e Newton si siano ispirati al metodo analitico e interrogandosi sulla possibilità che la logica torni a porsi il problema della scoperta in riferimento al suo metodo. Passa poi a vedere come oggi si intenda il metodo matematico, accennando alla «teoria delle categorie» di Eilenberg e MacLane.
L'intervista prosegue affrontando i rapporti tra informatica e logica e confrontando la teoria della logica richiesta dal Prolog con il metodo analitico. Cellucci conclude sostenendo che ormai, nella comunità dei matematici, il processo della dimostrazione può considerarsi piuttosto come un'attività sociale che individuale.


Biografia di Carlo Cellucci

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